Куб удвоения в коротких нардах: когда удваивать, принимать и отказываться

Как устроено удвоение на Bkgm.ru

Куб удвоения есть в партиях с живыми соперниками на ставку. В партии против компьютера его нет.

Перед своим броском игрок может нажать «Удвоить» вместо «Бросок». Сопернику приходит окно «Удвоение ставки» с тремя кнопками: «Да» — принять и играть дальше на двойную ставку; «Да. Удвоим ещё» — принять и сразу удвоить в ответ; «Нет. Сдаюсь» — отказаться и проиграть партию по текущей ставке. В итогах такая партия отмечается как отказ от удвоения.

Принявший удвоение становится владельцем куба: на нём видно, во сколько раз выросла ставка. Если баланса игрока не хватает на удвоение, с обоих игроков снимается сумма, равная этому балансу, — так об этом говорит подсказка в окне удвоения.

Правило 25%: когда принимать

Решение принимающего — простой расчёт. Пусть ставка равна 1. Отказ означает потерю 1. Если принять и выиграть с вероятностью p, то в среднем результат равен 2 × (p − (1 − p)) = 2 × (2p − 1).

Принимать выгоднее, когда 2 × (2p − 1) больше −1, то есть когда p больше 1/4. Отсюда правило: если шансы на победу не меньше 25%, удвоение стоит принять, если меньше — сдаться.

Расчёт верен для партии, которая кончается обычной победой. Если в позиции возможен марс и в выбранном режиме он стоит дороже обычного проигрыша, принимать нужно осторожнее: проигрыш после принятого удвоения обойдётся ещё дороже.

Принять выгодно, если 2 × (2p − 1) > −1, то есть p > 25%

Когда удваивать

Проще всего с последним броском — позицией, где соперник следующим ходом наверняка снимет свои шашки, и у вас одна попытка. Если удвоение принято, ваш выигрыш и проигрыш просто удваиваются. Удваивать выгодно, когда шансов на победу больше 50%, а если они больше 75%, соперник должен отказаться — и вы сразу выигрываете партию.

В длинных позициях решение сложнее: удвоив, вы отдаёте куб сопернику, и позже только он сможет удвоить ещё раз. Поэтому там удваивают, имея заметный перевес, — и стараются не упустить момент, пока соперник ещё может принять. Если перевес вырастет настолько, что он сдастся, партия принесёт одну ставку, хотя могла бы принести две.

Позиция 1: удваивать рано

У белых осталось две шашки — на 6-м и на 1-м пунктах. У чёрных одна шашка на последнем пункте, и следующим ходом они её снимут любым броском. Белым нужно снять обе шашки сейчас.

Это удаётся с любым броском, где есть шестёрка (11 из 36), и с дублями 2–2, 3–3, 4–4 и 5–5 — всего 15 бросков из 36, около 42%.

Белые: удваивать не стоит. Шансов меньше половины, и удвоение только увеличит проигрыш. Бросайте кубики.

Чёрные: если белые всё же удвоили — принимать без раздумий. У чёрных около 58%: это не только больше 25%, но и больше половины — фавориты здесь они.

Позиция 2: удвоить, соперник принимает

У белых две шашки на 2-м пункте, у чёрных снова одна шашка на последнем пункте. Белым мешает только единица: с броском, где есть 1 и другое число, вторая шашка остаётся на доске. Таких бросков 10. Дубль 1–1 не мешает — четыре хода по одному пункту снимают обе шашки.

Белые выигрывают в 26 случаях из 36, около 72%.

Белые: удваивать. Шансов больше половины, и с двойной ставкой средний выигрыш больше.

Чёрные: принимать. У них около 28% — больше 25%, поэтому принятие обходится в среднем дешевле, чем сдача. Сдаться — значит отдать партию, которую чёрные выигрывают больше чем в четверти случаев.

Позиция 3: удвоить, соперник сдаётся

У белых шашки на 4-м и 1-м пунктах. Не снимают обе только броски 2–1, 3–1, 3–2 и дубль 1–1 — всего 7 из 36. Белые выигрывают в 29 случаях из 36, около 81%.

Белые: удваивать. Это самый выгодный случай — соперник должен сдаться, и партия выиграна без риска.

Чёрные: отказаться — «Нет. Сдаюсь». У них около 19%, меньше 25%. Если принять, в среднем потеря составит больше одной ставки, а сдача стоит ровно одну.

Сравните со второй позицией: шашки белых различаются совсем немного, а правильный ответ чёрных — противоположный. Граница проходит ровно по 25%.

Сводка трёх позиций

Во всех трёх позициях решает доля бросков, с которыми белые снимают обе шашки сразу.

Типичные ошибки

Куб наказывает не столько за плохие ходы, сколько за неверную оценку шансов.

• Сдаваться при любом удвоении. Если шансов хотя бы 25%, сдача обходится дороже принятия.
• Принимать безнадёжные позиции «из принципа». Ниже 25% принятие в среднем стоит больше ставки.
• Удваивать, когда шансов меньше половины. В последнем броске это просто удваивает ожидаемый проигрыш.
• Забывать о марсе. Где он возможен, принимать удвоение рискованнее, чем показывает правило 25%.